Finden von Schnittpunkten von Linie und Kreis

Question

Ich versuche zu verstehen, was diese Funktion tut. Es wurde von meinem Lehrer gegeben und ich kann nicht verstehen, was Logik hinter den Formeln ist, die x, und y-Koordinaten finden. Von meinem Mathe-Kurs kenne ich meine Formeln, um das Abfangen zu finden, aber sein verwirrendes übersetzt in Code. Also habe ich einige Probleme damit, wie sie die Formeln für a, b, c und für das Finden der Koordinaten x und y definiert haben.

void Intersection::getIntersectionPoints(const Arc& arc, const Line& line) { 
    double a, b, c, mu, det; 

    std::pair<double, double> xPoints; 
    std::pair<double, double> yPoints; 
    std::pair<double, double> zPoints; 

//(m2+1)x2+2(mc−mq−p)x+(q2−r2+p2−2cq+c2)=0. 
    //a= m2; 
    //b= 2 * (mc - mq - p); 
    //c= q2−r2+p2−2cq+c2 
    a = pow((line.end().x - line.start().x), 2) + pow((line.end().y - line.start().y), 2) + pow((line.end().z - line.start().z), 2); 

    b = 2 * ((line.end().x - line.start().x)*(line.start().x - arc.center().x) 
    + (line.end().y - line.start().y)*(line.start().y - arc.center().y) 
    + (line.end().z - line.start().z)*(line.start().z - arc.center().z)); 

    c = pow((arc.center().x), 2) + pow((arc.center().y), 2) + 
    pow((arc.center().z), 2) + pow((line.start().x), 2) + 
    pow((line.start().y), 2) + pow((line.start().z), 2) - 
    2 * (arc.center().x * line.start().x + arc.center().y * line.start().y + 
    arc.center().z * line.start().z) - pow((arc.radius()), 2); 

    det = pow(b, 2) - 4 * a * c; 

    /* Tangenta na kružnicu */ 
    if (Math<double>::isEqual(det, 0.0, 0.00001)) { 
    if (!Math<double>::isEqual(a, 0.0, 0.00001)) 
     mu = -b/(2 * a); 
    else 
     mu = 0.0; 
//        x =  h   + t * (p   −  h) 
    xPoints.second = xPoints.first = line.start().x + mu * (line.end().x - line.start().x); 
    yPoints.second = yPoints.first = line.start().y + mu * (line.end().y - line.start().y); 
    zPoints.second = zPoints.first = line.start().z + mu * (line.end().z - line.start().z); 
    } 

    if (Math<double>::isGreater(det, 0.0, 0.00001)) { 
    // first intersection 
    mu = (-b - sqrt(pow(b, 2) - 4 * a * c))/(2 * a); 
    xPoints.first = line.start().x + mu * (line.end().x - line.start().x); 
    yPoints.first = line.start().y + mu * (line.end().y - line.start().y); 
    zPoints.first = line.start().z + mu * (line.end().z - line.start().z); 
    // second intersection 

    mu = (-b + sqrt(pow(b, 2) - 4 * a * c))/(2 * a); 
    xPoints.second = line.start().x + mu * (line.end().x - line.start().x); 
    yPoints.second = line.start().y + mu * (line.end().y - line.start().y); 
    zPoints.second = line.start().z + mu * (line.end().z - line.start().z); 
    } 

Answer 1

Bezeichnen der Startpunkt der Linie, wie A, Endpunkt, wie B, Kreis Zentrum als C, Kreisradius wie R und der Schnittpunkt als P, dann können wir P als

P=(1-t)*A + t*B = A+t*(B-A) (1) 

Punkt schreiben P wird auch auf den Kreis finden, daher

|P-C|^2 = r^2     (2) 

Gleichung Anstecken (1) in die Gleichung (2), erhalten Sie

|B-A|^2*t^2 + 2(B-A)\dot(A-C)*t +(|A-C|^2 - r^2) = 0 (3) 

So erhalten Sie die Formel für a, b und c in dem von Ihnen geposteten Programm. Nachdem Sie für t gelöst haben, erhalten Sie den/die Schnittpunkt (e) aus Gleichung (1). Da Gleichung (3) quadratisch ist, könnten Sie 0, 1 oder 2 Werte für t erhalten, die den geometrischen Konfigurationen entsprechen, bei denen die Linie den Kreis nicht schneidet, genau tangential zum Kreis verläuft oder an zwei Stellen durch den Kreis verläuft.