Rationale Matrixdivision in Julia

Question

In Julia liefert die Matrixdivision von zwei rationalwertigen Matrizen eine Gleitkomma-Matrix. Wie kann ich stattdessen eine Matrix rationaler Zahlen erhalten?

Ich kann nicht einfach convert(Array{Rational}, A \ b) wegen des Verlustes der Genauigkeit mit Fließkommazahlen verbunden verwenden.

Answer 1

Sie müssten einen geschwenkten QR factorization Algorithmus für rationale Matrizen implementieren, was ein ziemlich nicht-triviales Unterfangen ist, obwohl sicherlich nicht unmöglich. Julia verwendet die LAPACK DGEQP3 function, um dies für 64-Bit-Fließkomma-Matrizen zu tun. Selbst wenn es Ihnen gelänge, eine rationale QR-Faktorisierung zu erzielen, wäre sie bei weitem nicht so schnell wie der LAPACK-Algorithmus. Also ich denke, ich würde fragen, wofür Sie eine genaue rationale Matrixteilung brauchen.

Beiseite: Sie können es fruchtbarer finden, Fragen wie diese auf der julia-users list zu stellen, da Sie in der Lage sein werden, ein Gespräch darüber zu haben - das ist nicht wirklich ein "gebetenes und geantwortetes" Problem.

Update: Das jetzt "einfach funktioniert", weil ein generisches geschwenkt QR in Julia existiert jetzt:

julia> A = [rand(1:10)//rand(1:10) for i=1:4, j=1:4] 
4x4 Array{Rational{Int64},2}: 
5//3 1//2 10//1 8//9 
1//1 3//2 6//7 2//3 
4//1 8//9 6//7 10//3 
7//2 5//2 1//2 5//1 

julia> b = collect(1:4) 
4-element Array{Int64,1}: 
1 
2 
3 
4 

julia> c = A\b 
4-element Array{Rational{Int64},1}: 
    42055//62497 
    61344//62497 
    -2954//62497 
-19635//124994 

julia> A*c 
4-element Array{Rational{Int64},1}: 
1//1 
2//1 
3//1 
4//1 

Bedenken Sie jedoch, dass Rational{Int} ziemlich anfällig sind überlaufen, so können Sie Rational{Int128} verwenden müssen oder Rational{BigInt} um Überläufe zu vermeiden. Dieser Algorithmus ist gründlich generic und arbeitet für noch exotischere numerische Typen auch:

julia> using Quaternions # install with Pkg.add("Quaternions") 

julia> A = [Quaternion(rand(1:10), rand(1:10), rand(1:10), rand(1:10)) for i=1:4, j=1:4] 
4x4 Array{Quaternions.Quaternion{Int64},2}: 
    4 + 3im + 5jm + 8km 9 + 7im + 10jm + 3km 9 + 3im + 1jm + 7km 8 + 4im + 8jm + 5km 
    1 + 4im + 2jm + 1km 5 + 4im + 1jm + 4km 1 + 5im + 8jm + 2km 7 + 2im + 5jm + 3km 
10 + 1im + 4jm + 4km 2 + 4im + 9jm + 2km 2 + 10im + 4jm + 10km 2 + 3im + 4jm + 8km 
    7 + 4im + 3jm + 7km 8 + 3im + 5jm + 9km 6 + 5im + 1jm + 3km 10 + 10im + 3jm + 1km 

julia> b = collect(1:4) 
4-element Array{Int64,1}: 
1 
2 
3 
4 

julia> c = A\b 
4-element Array{Quaternions.Quaternion{Float64},1}: 
    0.18112 + 0.019288355350921868im - 0.002638049486498678jm + 0.11047233503816825km 
0.000578119 + 0.08073035854610844im - 0.023278758601757744jm - 0.16761078955242836km 
    -0.0501257 - 0.02428891715971441im - 0.11059096793480247jm - 0.059017235311989824km 
    0.0394953 - 0.16771397199827004im - 0.019823106776170954jm + 0.05251791790026253km 

julia> A*c 
4-element Array{Quaternions.Quaternion{Float64},1}: 
            1.0 + 1.1102230246251565e-16im + 0.0jm + 0.0km 
            2.0 + 2.220446049250313e-16im + 0.0jm + 0.0km 
3.0 + 4.440892098500626e-16im - 2.220446049250313e-16jm + 8.881784197001252e-16km 
4.0 + 2.220446049250313e-16im - 2.220446049250313e-16jm + 6.661338147750939e-16km 

julia> norm(b - A*c) 
1.680072297996111e-15 

Beachten Sie, dass Quaternionenmultiplikation nicht kommutativ ist, die diese eher interessant macht.