p (x) ⇒ xx.p (x) ist kontingent?

Question

Ich habe eine Frage begegnet der Frage, ob der fließende Satz gilt/Kontingent/unerfüllbar:

p(x)⇒∀x.p(x) 

Ich denke, die Antwort ist der Satz gültig ist. unter Abschnitt 6.10 des Lehrbuchs hier http://logic.stanford.edu/intrologic/secondary/notes/chapter_06.htmlsays

ein Satz mit freien Variablen entspricht dem Satz, in dem alle freien Variablen allquantifizierte sind.

Daher denke ich, der erste relationale Satz p (x) ist gleich ∀x.p (x) und daher ist der Satz gültig, dh. es ist immer wahr.

Die richtige Antwort ist jedoch, dass der Satz kontingent viz ist. unter einer gewissen Wahrheitszuweisung ist es wahr und andere andere Wahrheitszuweisung ist es falsch.

Also warum ist der Satz kontingent? Ist die Antwort falsch?

Answer 1

Sie haben eine Erklärung:

p(x)⇒∀x.p(x) 

Wenn Sie die freie Variable universell Nähe erhalten Sie:

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x)) 

mit anderen Worten:

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y)) 

, die nicht Tautologie ist, aber ist kontingent.In nicht-technischer Hinsicht diese lautet:

für jede x, wenn p(x) wahr ist, dann ist p(y) gilt für alle y

oder, um es in eine äquivalente Form zu transformieren:

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y)) 

heißt es:

, wenn p(x) ist für einige x wahr ist, dann ist p(y) gilt für alle y

Mit anderen Worten,

p(x) entweder immer wahr ist oder immer falsch

Answer 2

Ich denke, es hängt davon ab, wie Sie den Satz lesen.

Wenn Sie es als eine Definition lesen, dann ist es nicht kontingent.

Allerdings, wenn Sie es als reine Logik lesen ... dann gibt es tatsächlich 2 Bedeutungen von x in der Aussage. Die x auf der linken Seite der Implikation unterscheidet sich von der x in der Quantifizierung auf der rechten Seite.

p(x) => for all x . p(x) 

bedeutet das gleiche wie

p(x) => for all y . p(y) 

und das ist eindeutig. Dies gilt nicht für alle Prädikate .

(Zum Beispiel:

1. p(x) Ständer für das Prädikat Let "x ist linkshändig"

2. Die Aussage sagt dann:

   X is left-handed implies that everyone is left-handed. 
   

   ..., das kein logisch ist gültige Aussage

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Siehe @saas Antwort für eine "mathematisch rigorosere" Erklärung.