Verschiedene Eigenvektoren von Wolfram, Octave, Jama

Question

Ich habe die folgende Matrix

M = 
     1 -3 3 
     3 -5 3 
     6 -6 4 

Wolframalpha Befehl eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}} folgende Eigenwert erzeugt:

lambda_1 = 4 
lambda_2 = -2 
lambda_3 = -2 

und die folgenden Eigenvektoren:

v_1 = (1, 1, 2) 
v_2 = (-1, 0, 1) 
v_3 = (1, 1, 0) 

---

jedoch [V,D]= eig(M) Octave Befehl gibt mir die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren:

V = 
     -0.40825 + 0.00000i 0.24400 - 0.40702i 0.24400 + 0.40702i 
     -0.40825 + 0.00000i -0.41622 - 0.40702i -0.41622 + 0.40702i 
     -0.81650 + 0.00000i -0.66022 + 0.00000i -0.66022 - 0.00000i 

    D = 
    Diagonal Matrix 
     4.0000 + 0.0000i     0     0 
         0 -2.0000 + 0.0000i     0 
         0     0 -2.0000 - 0.0000i 

---

Und Jama gibt mir die folgende für Eigenwerte:

4 0 0 
    0 -2 0 
    0 0 -2 

And the following eigenvectors: 

     -0.408248 -0.856787 -0.072040 
     -0.408248 -0.650770 -1.484180 
     -0.816497 0.206017 -1.412140 

Die Octave und Jama Ergebnisse erscheinen, anders zu sein voneinander und von den Wolfram-Ergebnissen - Octave erzeugt sogar komplexe Eigenvektoren, während Eigenwerte in allen drei Methoden übereinstimmen.

Gibt es Erklärungen zu den Diskrepanzen und zur Interpretation der Octave- und Jame-Ergebnisse, die mit dem Wolfram-Ergebnis übereinstimmen?

Bitte beachten Sie, dass die bei http://algebra.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml angegebene Handberechnung mit dem Wolfram-Ergebnis übereinstimmt.

Vielen Dank für Ihre Hilfe.

Answer 1

Alle 3 Antworten sind korrekt.

Der Eigenvektor entsprechend 4 kann beliebig multiple von (1, 1, 2) sein. Mit anderen Worten, solange die ersten beiden Werte gleich sind und die dritte Zahl doppelt so groß ist, handelt es sich um einen Eigenvektor.

Beide

(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i) 

und

(-0.408248, -0.408248, -0.816497) 

sind von dieser Form.

Der Eigenwert -2 wird wiederholt. Daher ist der Eigenraum, der dem Eigenwert -2 entspricht, zweidimensional. Das bedeutet, dass es viel schwieriger ist zu erkennen, dass die Antworten gleichwertig sind.

Der einfachste Weg, um die 2D-Raum erzeugt durch die beiden Eigenvektoren (1, 1, 0) und (1, 0, -1) ist die Menge aller Vektoren (a, b, c) erfüllen

a - b + c = 0 

Es ist leicht zu überprüfen, ob alle sechs Eigenvektoren für -2 sind dafür gefunden zu beschreiben bilden.

Es ist ein bisschen erbärmlich, dass Octave die Antworten als komplexe Zahlen gab, wenn eine echte Lösung existiert, aber es ist eigentlich nicht falsch.