Was bedeutet es, zwei Funktoren zu komponieren?

Question

Exercise 5 of the Haskell Typeclassopedia Section 3.2 bittet um einen Beweis oder Gegenbeispiel auf die Aussage

Die Zusammensetzung von zwei Funktoren ist auch ein Functor.

Ich dachte zuerst, dass dies überhaupt sprach die fmap Methoden durch zwei separate Instanzen eines Functor definiert komponieren, aber das ist wirklich nicht sinnvoll, da die Typen, wie ich so weit nicht zusammenpassen würde kann sagen. Für zwei Typen f und f' wären die Typen fmapfmap :: (a -> b) -> f a -> f b und fmap :: (a -> b) -> f' a -> f' b, und das scheint nicht wirklich zusammensetzbar zu sein. Also, was bedeutet es, zwei Functors komponieren?

Answer 1

A Functor gibt zwei Abbildungen: eine auf den Typebene Abbildungstypen Typen (dies ist die in xinstance Functor x where), und eine auf der Ebene Begriff Abbildungsfunktionen auf Funktionen (das ist die in xfmap = x). Sie denken darüber nach, das Mapping auf Termebene zu erstellen, sollten aber darüber nachdenken, das Mapping auf Typposition zu erstellen. Beispiel gegeben

data Compose f g x = Compose (f (g x)) 

Sie

instance (Functor f, Functor g) => Functor (Compose f g) 

schreiben kann? Wenn nicht, warum nicht?

Answer 2

Die Zusammensetzung von zwei Funktionen ist, wenn Sie eine Funktion innerhalb einer anderen Funktion setzen, wie

round (sqrt 23) 

Dies ist die Zusammensetzung der beiden Funktionen round und sqrt. In ähnlicher Weise ist die Zusammensetzung von zwei functors, wenn Sie einen Funktor in einem anderen Funktors setzen, wie

Just [3, 5, 6, 2] 

Liste ein Funktor ist, und so ist vielleicht. Sie können ein Gefühl dafür bekommen, warum ihre Zusammensetzung auch ein Funktor ist, wenn Sie versuchen herauszufinden, was fmap mit dem obigen Wert machen soll. Natürlich sollte es den Inhalt des inneren Funktors abbilden!

Answer 3

Es hilft wirklich über die kategorische Interpretation zu denken, hier ein Funktor F: C -> D nimmt Objekte (Werte) und morphisms (Funktionen) auf Objekte und Morphismen aus einer Kategorie C auf Objekte und Morphismen in einer Kategorie D.

Für eine zweite Funktors G : D -> E die Zusammensetzung von functors G . F : C -> E nimmt gerade die codomain von Ffmap Transformation die Domäne der Gfmap Transformation. In Haskell wird dies mit einer kleinen Neuauspackung erreicht.

import Data.Functor 

newtype Comp f g a = Comp { unComp :: f (g a) } 

compose :: f (g a) -> Comp f g a 
compose = Comp 

decompose :: Comp f g a -> f (g a) 
decompose = unComp 

instance (Functor f, Functor g) => Functor (Comp f g) where 
    fmap f = compose . fmap (fmap f) . decompose 

Answer 4

Was spricht, ist die Zusammensetzung der Typkonstruktoren wie [] und Maybe, nicht die Zusammensetzung von Funktionen wie fmap.So zum Beispiel, gibt es zwei Möglichkeiten der Komposition [] und Maybe:

newtype ListOfMabye a = ListOfMaybe [Maybe a] 
newtype MaybeOfList a = MaybeOfList (Maybe [a]) 

Die Aussage, dass die Zusammensetzung von zwei Functors ist ein Functor bedeutet, dass es eine formelhafte Art und Weise eine Functor Beispiel für diese Art des Schreibens:

instance Functor ListOfMaybe where 
    fmap f (ListOfMaybe x) = ListOfMaybe (fmap (fmap f) x) 

instance Functor MaybeOfList where 
    fmap f (MaybeOfList x) = MaybeOfList (fmap (fmap f) x) 

In der Tat kommt die Haskell-Plattform mit dem Modul Data.Functor.Compose, dass Sie eine Compose Art gibt, die diese „kostenlos“ tut:

import Data.Functor.Compose 

newtype Compose f g a = Compose { getCompose :: f (g a) } 

instance (Functor f, Functor g) => Functor (Compose f g) where 
    fmap f (Compose x) = Compose (fmap (fmap f) x) 

Compose ist besonders nützlich bei der GeneralizedNewtypeDeriving extension:

{-# LANGUAGE GeneralizedNewtypeDeriving #-} 

newtype ListOfMaybe a = ListOfMaybe (Compose [] Maybe a) 
    -- Now we can derive Functor and Applicative instances based on those of Compose 
    deriving (Functor, Applicative) 

anzumerken, dass die Zusammensetzung von zwei Applicative s ist auch eine Applicative. Daher sind, da [] und MaybeApplicative sind, auch Compose [] Maybe und ListOfMaybe. Komponieren Applicative s ist eine wirklich nette Technik, die sich heutzutage immer mehr verbreitet, als eine Alternative zu Monade-Transformatoren für Fälle, in denen Sie nicht die volle Leistung von Monaden benötigen.