MATLAB: Die Determinante einer Kovarianzmatrix ist entweder 0 oder inf

Question

Ich habe eine 1500x1500 Kovarianzmatrix, von der ich versuche, die Determinante für die EM-ML-Methode zu berechnen. Die Kovarianzmatrix wird erhalten, indem die SIGMA-Matrix gefunden und dann in die nächste SPD-Bibliothek (Link) eingegeben wird, um die Matrix positiv definit zu machen. In diesem Fall ist die Matrix immer singulär. Eine andere Methode, die ich versuchte, war das manuelle Erzeugen einer positiv definiten Matrix unter Verwendung der A '* A-Technik. (A wurde als eine 1600 × 1500-Matrix genommen). Dies gibt mir immer die Determinante als unendlich. Irgendeine Idee, wie ich eine positive definitive Matrix mit einer endlichen Determinante bekommen kann?

Answer 1

Benötigen Sie tatsächlich die Determinante oder den Logarithmus der Determinante? Wenn Sie zum Beispiel eine logarithmische Wahrscheinlichkeit von Gaussians berechnen, dann ist das Log der Determinante das, was in die logarithmische Wahrscheinlichkeit eintritt. In hohen Dimensionen passen die Determinanten nicht in ein Doppel, aber ihr Log wird höchstwahrscheinlich.

Wenn Sie eine cholesky Faktorisierung der Kovarianz C durchzuführen, mit (unterem Dreieck) Faktor L sagen, so dass

C = L*L' 

dann

det C = det(L) * det(L') = det(L) * det(L) 

Aber die Determinante einer unteren Dreiecksmatrix ist die Produkt seiner diagonalen Elemente, so, Protokolle über nehmen, erhalten wir:

(Als Reaktion auf einen Kommentar) Auch wenn Sie ein Gaussian-PDF berechnen müssen, ist es besser, das Protokoll davon zu berechnen und nur dann zu potenzieren, wenn Sie es benötigen. Zum Beispiel ad dimenions Gaußsche mit Kovarianz C (die einen cholesky Faktor L hat) und mittlere 0 (rein Typisierung zu sparen) ist:

p(x) = exp(-0.5*x'*inv(C)*x) /(sqrt(pow(2pi,d) * det(C)) 

so

log p(x) = -0.5*x'*inv(C)*x - 0.5*d*log(2pi) - 0.5*log(det(C)) 

die auch

geschrieben werden können

log p(x) = -0.5*y'*y - 0.5*d*log(2pi) - log(det(L)) 

wo

y = inv(L)*x