Sollten wir Gleitkommazahlen für Gleichheit mit einem * relativen * Fehler vergleichen?

Question

Bisher habe ich viele Beiträge gesehen, die sich mit der Gleichheit von Fließkommazahlen beschäftigen. Die Standardantwort auf eine Frage wie "Wie sollten wir entscheiden, ob x und y gleich sind?"

ist

abs(x - y) < epsilon 

wobei Epsilon ist ein fixiert, kleine Konstante. Dies liegt daran, dass die "Operanden" x und y oft die Ergebnisse einiger Berechnungen sind, bei denen ein Rundungsfehler vorliegt, daher ist der Standard-Gleichheitsoperator == nicht was wir meinen, und was wir wirklich fragen sollten ist, ob x und y sind schließen, nicht gleich.

Nun, ich denke, wenn x „fast gleich“ y ist, dann ist auch x * 10^20 sollte * 10^20, in dem Sinne, y „fast gleich“ sein, dass die relativ Fehler sein sollten das gleiche (aber "relativ" zu was?). Aber mit diesen großen Zahlen würde der obige Test fehlschlagen, d. H. Diese Lösung "skaliert" nicht.

Wie würden Sie mit diesem Problem umgehen? Sollten wir die Zahlen neu skalieren oder Epsilon neu skalieren? Wie? (Oder ist meine Intuition falsch?)

ist hier ein related question, aber ich weiß nicht seine akzeptierte Antwort mag, für die reinterpret_cast Sache ein bisschen schwierig zu mir scheint, ich verstehe nicht, was los ist. Bitte versuchen Sie es mit einem einfachen Test.

Answer 1

Es hängt alles von der spezifischen Problemdomäne ab. Ja, die Verwendung eines relativen Fehlers wird im allgemeinen Fall korrekter sein, aber es kann wesentlich weniger effizient sein, da es eine zusätzliche Gleitkommadivision beinhaltet. Wenn Sie die ungefähre Skalierung der Zahlen in Ihrem Problem kennen, ist die Verwendung eines absoluten Fehlers akzeptabel.

This page beschreibt eine Reihe von Techniken zum Vergleichen von Floats. Es geht auch über eine Reihe wichtiger Themen, wie solche mit Unternormalen, Unendlichkeiten und NaNs. Es ist eine großartige Lektüre, ich empfehle es, es durch den ganzen Weg zu lesen.

Answer 2

Das Problem ist, dass mit sehr großen Zahlen, im Vergleich zu Epsilon wird fehlschlagen.

Vielleicht eine bessere (aber langsamer) Lösung wäre die Verwendung Division Beispiel:

div(max(a, b), min(a, b)) < eps + 1 

Nun ist die ‚Fehler‘ im Verhältnis wird.

Answer 3

Als eine alternative Lösung, warum nicht nur runden oder trunkieren Sie die Zahlen und dann einen direkten Vergleich? Indem Sie die Anzahl der signifikanten Stellen im Voraus festlegen, können Sie sich der Genauigkeit innerhalb dieser Grenze sicher sein.

Answer 4

Die Verwendung eines relativen Fehlers ist mindestens nicht so schlimm wie die Verwendung absoluter Fehler, aber es hat aufgrund von Rundungsproblemen subtile Probleme für Werte nahe Null. Ein bei weitem nicht perfekt, aber etwas robuster Algorithmus kombiniert absolute und relative Fehler Ansätze:

boolean approxEqual(float a, float b, float absEps, float relEps) { 
    // Absolute error check needed when comparing numbers near zero. 
    float diff = abs(a - b); 
    if (diff <= absEps) { 
     return true; 
    } 

    // Symmetric relative error check without division. 
    return (diff <= relEps * max(abs(a), abs(b))); 
} 

ich diesen Code von Bruce Dawson ausgezeichneten Artikel angepasst Comparing Floating Point Numbers, 2012 Edition, ein Lese erforderlich für alle Floating-Point-Vergleiche zu tun - ein erstaunlich komplexes Thema mit vielen Fallstricken.

Answer 5

Meistens, wenn Code Werte vergleicht, wird eine Frage beantwortet.Zum Beispiel:

1. Wenn ich weiß, was für eine Funktion, wenn ein Wert von X gegeben zurückgegeben, kann ich davon ausgehen, es wird die gleiche Sache zurück, wenn Y gegeben?

2. Wenn ich eine Methode habe, eine Funktion zu berechnen, die langsam aber genau ist, bin ich bereit, einige Ungenauigkeit im Austausch für die Geschwindigkeit zu akzeptieren, und ich möchte eine Kandidatenfunktion testen, die zur Rechnung passt, sind die Ausgaben von dieser Funktion nah genug an die bekannt-genaue als "richtig" zu betrachten.

die erste Frage zu beantworten, Code idealerweise einen bitweise Vergleich zu dem Wert tun soll, obwohl es sei denn, eine Sprache, die neuen Betreiber zu IEEE-754 im Jahr 2009 hinzugefügt unterstützt, das weniger als ideal effizient sein kann. Um die zweite Frage zu beantworten, sollte man definieren, welcher Grad an Genauigkeit erforderlich ist, und dagegen testen.

Ich denke nicht, dass es viel Verdienst in einer allgemeinen Methode gibt, die gleichwertige Dinge betrachtet, da unterschiedliche Anwendungen unterschiedliche Anforderungen an absolute und relative Toleranz haben werden, basierend auf den genauen Fragen der Tests Antworten.