Quasi-monte-carlo schneidet in der Pfadsimulation der Brownschen Bewegung schlechter ab. Julia

Question

Ich untersuche Sobol-Sequenzen als eine Varianzreduktionstechnik, um eine Simulation zu beschleunigen. Die Konvergenz der QMC-Methode scheint jedoch sehr schwach zu sein.

Weiß jemand, wie oder warum das der Fall ist? Ist der Vorteil von QMC in diesen hochdimensionalen Fällen verloren? Ich bekomme ähnliche Ergebnisse für die Brownsche Brücke.

-Code unten versucht, in Julia die folgenden

$$ \ mathbb {E} \ int B_t dt $$

wo $ B_t $ ist eine Standard-Brownsche Bewegung zu simulieren. Der wahre Wert ist $ \ frac {1} {2} T^2 $.

using PyPlot 
import Distributions: Normal 
import PyPlot: plt 
using Sobol 

function pseudo_path_variation(dt, T, M) 
    # The pseudo random approach 
    N = round(Int, T/dt); 
    Z = zeros(N, M); 
    d = Normal(0, 1.0); 
    sum = 0.0; 
    for j in 1:M, i in 1:N-1 
     Z[i+1, j] = Z[i, j] + sqrt(dt)*rand(d, 1)[1]; 
    end 
    # Calculate sum 
    return sumabs2(Z)*dt/M; 
end 

function quasi_path_variation(dt, T, M) 
    # An attempt at the above using a N dimensional sobol sequence 
    N = round(Int, T/dt); 
    Z = zeros(N, M); 
    d = Normal(0, 1.0); 
    sum = 0.0; 

    # The N dimensional sobol sequence 
    s = SobolSeq(N); 

    # Burn in the sequence 
    for i in 1:10 
     next(s); 
    end 

    for j in 1:M 
     B = next(s); 
     for i in 1:N-1 
      Z[i+1, j] = Z[i, j] + sqrt(dt)*quantile(d, B[i]); 
     end 
    end 
    # Calculate sum 
    return sumabs2(Z)*dt/M; 
end 

dt = 0.5; 
T = 10; 
M = 1000; 

estims = zeros(M); 
for N = 1:M-1 
    estims[N+1] = quasi_path_variation(dt, T, N) 
end 

p = plot(linspace(0, M, M), estims); 

estims = zeros(M); 
for N = 1:M-1 
    estims[N+1] = pseudo_path_variation(dt, T, N) 
end 

p = plot(linspace(0, M, M), estims); 

Answer 1

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tic() 
dt = 0.5; 
T = 10; 
... 
... 
p = plot(linspace(0, M, M), estims); 
toc() 

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