Inverse 3D (Dreieck) Projektion

Question

Ich habe ein 3D-Mathematik-Problem, das ich einfach nicht lösen kann.

Ich habe Daten von 3 Punkten. Die Daten sind eine (2D-) Koordinate auf einer Ebene, die irgendwo im 3D-Raum schwebt. Ich kenne auch die (2D) Koordinate der Projektion. Das ergibt die folgende Reihe von Daten:

[[[x1,y1], [px1,py1], 
[[x2,y2], [px2,py2], 
[[x3,y3], [px3,py3]] 

wo die normalen (x1 etc.) Koordinaten für die Koordinaten in der Ebene stehen und die anderen (PX1 etc.) für die projizierten Koordinaten.

Was ich tun möchte, ist projizieren eine neue 2D-Koordinate ([x4, y4]).

.

Was ich bisher versucht:

Ofcourse benötigen Sie ein Auge für die Projektion, so dass ich eingestellt, dass auf [xe, ye, -1]. Die Xe und Ye sind bekannt. (Es ist ein Foto-Bezug, also habe ich das Auge gerade in die Mitte des Fotos platziert.)

Unter dem Auge habe ich die Projektionsfläche platziert (z = 0). Das gibt die folgende Projektion Koordinaten:

[[[x1,y1], [px1,py1,0], 
[[x2,y2], [px2,py2,0], 
[[x3,y3], [px3,py3,0]] 

ich das gleiche für die Koordinaten auf der Ebene nicht tun, da ich weiß nichts über diese Ebene.

Ich dachte mir auch, dass ich eine parametrisierte Formel der Linien vom Auge durch die Projektion Koordinaten machen könnte. Für Linie 1 wäre das:

Ich kenne auch den Abstand zwischen den Punkten in 3D. Das ist das Gleiche wie in 2D. Das heißt, der Abstand zwischen Punkt1 und Punkt2 wäre sqrt ((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2).

Ich kenne auch die Entfernung zwischen den Linien (line1 und line2) zu jeder Zeit. Das ist sqrt ((line1x-line2x)^2 + (zeile1y-line2y)^2 + (line1z-line2z)^2).

Allerdings weiß ich nicht wirklich, wie man von hier aus ... Oder auch, ob dies der richtige Weg ist.

.

Ich hoffe, Sie verstehen, was ich tun können, und dass Sie mir helfen können.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Write

(x4,y4,1) = A1*(x1,y1,1) + A2*(x2,y2,1) + A3*(x3,y3,1), 

Lösung für A1, A2, A3. Dann

(xp4,yp4) = A1*(px1,py1) + A2*(px2,py2) + A3*(px3,py3). 

1. Bearbeitung.

(A1, A2, A3) ist die Lösung des linearen Systems Mat * (A1, A2, A3) = (x4, y4,1).

Dies kann auf verschiedene Arten gelöst werden. Zum Beispiel mit Cramer's Regeln.

2. Bearbeitung.

Die eingefügten 1en sind keine Z-Koordinaten, sondern homogene Erweiterungen der Eingabekoordinaten (die euklidische Koordinaten sein müssen). (A1, A2, A3) sind homogene Koordinaten in der durch die Dreiecksspitzen gebildeten Basis.

3. Bearbeitung.

Die Übereinstimmung zwischen der 3D-Ebene und der Projektionsebene ist eine projektive Transformation. Sie kann als 3x3-Matrix T definiert werden, die auf homogenen Koordinaten in der Eingabeebene (x, y, 1) (in Ihrem Koordinatensystem) arbeitet und Koordinaten (u, v, t) in der Projektionsebene erzeugt. Dann gilt px = u/t und py = v/t.

Wenn ein Punkt homogene Koordinaten (A1, A2, A3) in der Basis hat, die von drei Punkten der Eingabeebene (nicht auf derselben Linie) gebildet wird, hat seine Projektion die gleichen homogenen Koordinaten in der projizierten Basis.

Es schien mir vor 1 Stunde ziemlich klar zu sein, aber jetzt fange ich an zu zweifeln: vielleicht benötigt man ein zusätzliches Punktepaar, um eine einzige Lösung für das Problem zu haben ... Wenn Sie es finden können ein Blick auf das Buch "Algebraic Projective Geometry" von JG Semple und G.T. Kneebone.

Answer 2

Ich verstehe das Problem nicht wirklich? Versuchen Sie, ein Objekt im 3D-Raum zu lokalisieren, von dem Sie wissen, dass es sich in einer Ebene (z. B. einer Wand oder einem Boden) befindet und nur 3 Punkte (von denen Sie die Abstände zwischen 3D-Raum kennen) ein Kamerabild?

In diesem Fall haben Sie 3 Gleichungen wie folgt, wo localCoordinates die Punkte Koordinaten im Objektraum (gibt den bekannten Abstand zwischen den Punkten) und Welt ist die Objekte Position im 3D-Raum.

Dies ergibt ein Gleichungssystem mit 6 Unbekannten (Rotation und Position in 3d) und 6 Gleichungen (2 für jeden Punkt). Es wird jedoch nicht linear sein, also müssen Sie es mit numerischen Methoden lösen. Versuchen Sie die Newton Rapson-Methode.

Answer 3

Sie sollten homographic functions und homogeneous coordinates verwenden, die im Allgemeinen für 3D-perspektivische Operationen verwendet werden.

Answer 4

Es gibt eine Funktion Projektion, die Punkte so transformieren kann, dass Projektion ([x1, y1]) = [px1, py1], Projektion ([x2, y2]) = [px2, py2], Projektion ([x3 , y3]) = [px3, py3]. Wenn ich es richtig verstehe, möchte der Autor wissen, wie er diese Projektionsfunktion findet, damit er [x4, y4] in [px4, py4] umwandeln kann.

Da wir mit Flugzeugen hier zu tun haben, sieht die Projektionsfunktion wie folgt aus:

Proj([ix, iy]) : 
    return [ax*ix + bx*iy + cx, 
      ay*iy + by*iy + cy]; 

Mit, dass wir zwei Gleichungssysteme machen zu lösen.

Die erste
x1 * Axt + y1 * bx + cx = PX1
x2 * Axt + y2 * bx + cx = PX2
x3 * ax + y3 * bx + cx = px3

für Axt Solving, bx und cx gibt uns

ax = (px1 * (y3 - y2) - px2*y3 + px3*y2 + (px2 - px3) * y1)/
    (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1) 
bx = - (px1 * (x3 - x2) - px2*x3 + px3*x2 + (px2 - px3) * x1)/
    (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1) 
cx = (px1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (px2*y3 - px3*y2) + (px3*x2 - px2*x3) * y1)/
    (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1) 

die zweite x1 * ay + y1 * von + cy = py1
x2 * ay + y2 * von + cy = py2
x3 * ay + y3 * von + cy = py3

für ay Solving, von und cy uns

ay = (py1 * (y3 - y2) - py2*y3 + py3*y2 + (py2 - py3) * y1)/
    (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1) 
by = - (py1 * (x3 - x2) - py2*x3 + py3*x2 + (py2 - py3) * x1)/
    (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1) 
cy = (py1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (py2*y3 - py3*y2) + (py3*x2 - py2*x3) * y1)/
    (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1) 

Hinweis gibt : Ich habe this tool verwendet, um Gleichungssysteme zu lösen.

Answer 5

Ein "Bit" spät hier, aber die am höchsten bewertete Antwort berücksichtigt nicht den 3D-Raum des Problems. Wir haben ein perspektivisches Projektionsproblem, bei dem drei Punkte auf einer Ebene (eigentlich alle 3 3D-Punkte) (wie in der projektiven Geometrie) auf der Oberfläche einer Kamera projiziert werden.

Es ist nicht möglich, eine eindeutige Lösung für dieses Problem zu geben (mehrere Lösungen existieren). Das generelle Problem, eine Kameraposition und -pose bei 3 3D-Punkten und deren jeweiligen 2D-Perspektivprojektionen zu finden, kann mit dem P3P (Perspective-3-Point) -Algorithmus aus dem Original RANSAC paper gelöst werden, der bis zu vier mögliche Lösungen ergibt (mit Punkte vor der Kamera).

Bei einer Kamerapose ist es trivial, die Projektion zusätzlicher Ebenenpunkte zu berechnen.